هنگامی که عنصر i با j مقایسه می شود، یکی از اعداد بالا به آن اختصاص می یابد. در مقایسه عنصر j با i، مقدار معکوس آن عدد اختصاص می یابد.

توجه داشته باشید که در ماتریس های مقایسات زوجی، سطر i با ستون j مقایسه می شود. بنابراین تمامی عناصر قطر اصلی این ماتریس عدد یک می باشد. همچنین هر مقدار زیر قطر اصلی، معکوس مقدار بالای قطر است.

۲-۳-۴- مدل TOPSIS :
مدل TOPSIS^[36] توسط هوانگ و یون^[۳۷] در سال ۱۹۸۱، پیشنهاد شد. این مدل یکی از بهترین مدل های تصمیم گیری چند شاخصه است و از آن استفاده زیادی می شود، در این روش نیز m گزینه به وسیله n شاخص، مورد ارزیابی قرار می گیرد. اساس این تکنیک، بر این مفهوم استوار است که گزینه انتخابی باید کمترین فاصله را با راه حل ایده آل مثبت (بهترین حالت ممکن) و بیشترین فاصله را با راه حل ایده آل منفی (بدترین حالت ممکن) داشته باشد.(آریا نژاد۱۳۸۰) فرض بر این است که مطلوبیت هر شاخص، به طور یکنواخت افزایشی یا کاهشی است. حل مساله با این روش، مستلزم طی شش گام زیر است:
۱- کمی کردن و بی مقیاس سازی ماتریس تصمیم (N): برای بی مقیاس سازی، از بی مقیاس سازی نورم استفاده می شود.
۲- به دست آوردن ماتریس بی مقیاس موزون (V): ماتریس بی مقیاس شده (N) را در ماتریس قطری وزن ها (W_nxn) ضرب می کنیم، یعنی
V= N * W_nxn
۳- تعیین راه حل ایده آل مثبت و راه حل ایده آل منفی: راه حل ایده آل مثبت و ایده آل منفی، به صورت زیر تعریف می شوند:
(بردار بهترین مقادیر هر شاخص ماتریس V) = راه حل ایده آل مثبت (V_j⁺)
(بردار بدترین مقادیر هر شاخص ماتریس V) = راه حل ایده آل منفی (V_j^-)
“بهترین مقادیر"برای شاخص های مثبت، بزرگترین مقادیر و برای شاخص های منفی، کوچک ترین مقادیر است و “بدترین” برای شاخص های مثبت، کوچک ترین مقادیر و برای شاخص های منفی بزرگترین مقادیر است.
۴- به دست آوردن میزان فاصله هر گزینه تا ایده آل های مثبت و منفی:
فاصله اقلیدسی هر گزینه از ایده آل مثبت (d_j⁺) و فاصله هر گزینه تا ایده آل منفی (d_j^-) بر اساس فرمول های زیر حساب می شود.
۵- تعیین نزدیکی نسبی (CL^*) یک گزینه به راه حل ایده آل:
۶- رتبه بندی گزینه ها: هر گزینه ای که CL آن بزرگ تر باشد، بهتر است.
۲-۴-نظریه فازی :
۲-۴-۱-مقدمه :
نظریه فازی در سال ۱۹۶۵ توسط پروفسور لطفی عسگرزاده ، دانشمند ایرانی تبار و استاد دانشگاه برکلی آمریکا ، عرضه شد. این نظریه از زمان ارائه تاکنون، گسترش و تعمیق زیادی یافته و کاربردهای گوناگونی در زمینه های مختلف پیدا کرده است. نظریه فازی، نظریه ای است برای اقدام در شرایط عدم اطمینان. این نظریه قادر است بسیاری از مفاهیم، متغیرها، و سیستم هایی را که نادقیق و مبهم هستند، چنانچه در عالم واقع در اکثر موارد چنین است، به شکل ریاضی در آورد و زمینه را برای استدلال، استنتاج، کنترل و تصمیم گیری در شرایط عدم اطمینان فراهم آورد. (آذر۱۳۸۱)
۲-۴-۲- تفکر فازی :
سیبی را در دست خود نگه دارید. آیا آن سیب است؟ بله. شیئی که در دست شماست، متعلق به مجموعه ای از فضا و زمان است که ما آن را مجموعه سیب ها می نامیم. حالا گازی به آن بزنید، آن را بجوید و ببلعید. اجازه دهید دستگاه گوارش شما آن بخش از سیب را به مولکول های آن تجزیه کند. آیا جسم قرار گرفته در دست شما هنوز هم یک سیب است؟ بله یا نه؟ گاز دیگری به آن بزنید. آیا جسم جدید هنوز یک سیب است؟ گاز دیگری به آن بزنید و همچنان ادامه دهید تا چیز دیگری از آن باقی نماند. سیب از یک چیز به هیچ تبدیل می شود. اما در کجا سیب از مرز سیب بودن به مرز سیب نبودن می گذرد؟ هنگامی که نیمی از سیب را در دست خود نگه داشتید، سیب به همان اندازه ای هست که نیست، نیمه ای از سیب که در دست شماست در برگیرنده هر دو توصیف همه یا هیچ است. نیمه سیبی که در دست شماست یک سیب فازی است، طیفی از خاکستری بین سیاه و سفید. فازی بودن همان خاکستری بودن است.
از زمان اندیشیدن انسان همواره واژه هایی چون خوب، بد، قوی، زیبا، گرم، جوان را بر زبان آورده که این واژه ها مرزهای روشنی ندارند. برای نمونه گزاره احمد جوان است را در نظر بگیرید، مشخص است که نمی توان مرز مشخصی برای جوان بودن در نظر گرفت. اما در بسیاری از علوم نظیر ریاضیات و منطق فرض بر این است که مرزهای دقیقاً تعریف شده ای وجود دارد و یک موضوع خاص در محدوده آن مرز قرار می گیرد یا نمی گیرد. مواردی چون همه یا هیچ، زن یا مرد، سفید یا سیاه، صفر یا یک، زنده یا مرده، A یا نقیض A در این علوم به وفور یافت می شود. در این علوم هر گزاره ای درست است یا نادرست. پدیده های واقعی یا سفید هستند یا سیاه.
عدد فازی مثلثی :
یکی از کاربردی ترین اعداد فازی، عدد فازی مثلثی (T.F.N) ^[۳۸]است و به صورت M=(m,α, β) نشان داده می شود که در شکل ۲-۸- نمایش داده شده است.(مؤمنی ۱۳۸۷)
m نما، α فاصله نما تا کرانه پایین و β فاصله نما تا کرانه بالا است.
شکل ۲-۸- عدد فازی مثلثی
(توجه: گاهی عدد فازی مثلثی را به صورت M = (a₁ , a₂ , a₃) نیز نشان می دهند.)
شکل ریاضی تابع عضویت نیز به صورت زیر است:
فازی ذوزنقه ای :
اگر در تعریف عدد فازی، ویژگی تک نمایی بودن را حذف کنیم، آنگاه به آن بازه فازی ^[۳۹]گوییم. به عبارت دیگر در این حالت یک بازه وجود دارد که در طول این بازه، تابع عضویت برابر یک است. با این تعریف، عدد فازی حالت خاصی از بازه فازی است. بازه فازی را به تسامح عدد فازی ذوزنقه ای نیز می نامند.
فازی ذوزنقه ای ^[۴۰]را به صورت M = (m₁ , m₂ , α , β) نشان می دهند که اگر m₁ = m₂ باشد (و تابع عضویت به صورت خطی باشد) تبدیل به عدد فازی مثلثی می شود. (توجه: گاهی فازی ذوزنقه ای را به صورت M = (a₁ , a₂ , a₃ , a₄) نیز نشان می دهند.)
شکل ۲-۹- این موضوع را نشان می دهد :
شکل۲-۹- فازی ذوزنقه ای
۲-۴-۳-مدل MADM فازی :
تساور ، چانگ ، وین (۲۰۰۲) برای ارزیابی کیفیت خدمات شرکت های هواپیمایی از روش MADM فازی استفاده کردند . روش کار آنها که مشابه روش کار ما در این پژوهش می باشد در زیر توضیح داده می شود:
برای انجام این تحقیق ، ابتدا با مرور پیشینه و ادبیات تحقیق ، شاخص های اصلی و فرعی مشخص شدند . سپس پرسشنامه ای تنظیم و بین ۴۵۰ مسافر ( در ۲۹ آژانس عمومی فروش بلیط هواپیما ) که تجربه پرواز با شرکت های مورد نظر ( C،B،A )را داشتند توزیع شده اند و نرخ بازگشت پرسشنامه ۴۷٪ بوده است .سؤالات به دو قسمت اصلی تقسیم بندی شده اند : سؤالات مربوط به اهمیت نسبی معیارها ، که بر اساس آن ها با روش AHP وزن شاخص ها محاسبه شده اند و سؤالات مربوط به عملکرد شرکت های هواپیمایی مختلف از نظر شاخص های مختلف .به دلیل آنکه برخی از متغیر های مورد سنجش ، برای نمونه کیفیت خدمات هواپیمایی ، از نوع متغیر های زبانی بوده اند ، از نظریه فازی استفاده شده است .
برای هر متغیر ( شاخص ) ، به تعداد پاسخ دهندگان ، پاسخ وجود داشته ، مثلاً برای شاخص “راحتی صندلی و تمیزی” ۲۱۱ پاسخ وجود داشته که متناظر با آن ، ۲۱۱ عدد فازی مثلثی وجود داشته است .
پس از محاسبه ون شاخص ها و همچنین عملکرد هر شرکت هواپیمایی از نظر هر شاخص ، به دلیل اینکه عملکرد ها به صورت فازی بوده اند ، این مقادیر ، دیفازی ( تبدیل به قطعی ) شده اند .
در مرحله پایانی با بهره گرفتن از وزن های بدست آمده از روش AHP و همچنین با توجه به مقادیر قطعی معیار های عملکرد سه شرکت هواپیمایی ، از روش TOPSIS استفاده شده است .
۲-۵-بیشینه تحقیق :
۲-۵-۱-بیشینه داخلی :
سلطانی(۱۳۸۲) در مقاله ای با عنوان خرید بازیکنان فوتبال-کاربردی دو روش کاربردی در خرید بازیکنان فوتبال حرفه ای به منظور حفظ و حراست و ارتقا ورزش قهرمانی ارائه نموده است. ضمناً روش های ارائه شده در مقاله مبتنی بر اطلاعات آماری و مالی یک باشگاه فرضی فوتبال برای تصمیم گیری در خصوص خرید یا عدم خرید بازیکن ، با رعایت اصول و ضوابط حسابداری منابع انسانی و استانداردهای بین المللی پذیرفته شده مالی بوده که با بهره گرفتن از روش ارزیابی طرحهای سرمایه گذاری و تحلیل هزینه و فایده با روش ارزش فعلی انجام گرفته است .این مطالعه نشان داد که سرمایه گذاری خرید بازیکنان حرفه ای فوتبال ضمن اینکه ساختار مناسب سازمانی برای ارتقا ورزش قهرمانی را فراهم می سازد ، ارزش فعلی خالص درآمدهای آتی باشگاههای خصوصی را افزایش داده و آثار ثانوی گسترده ای بر ارتقا رفاه اقتصادی جامعه و ساختارهای ارزشمند فرهنگی ، سیاسی ، آموزشی در بر خواهد داشت.نقل و انتقال بازیکنان حرفه ای ، بررسی آثار کوتاه مدت و بلندمدت در فضای رقابتی ، تعیین سطح سرمایه گذاری بهینه و دستیابی به راهکارهای عملی در ساماندهی ورزش خصوصاً فوتبال حرفه ای بحث مورد نظر این مقاله می باشد.
سلیمی (۱۳۸۸) در مقاله ای با عنوان بررسی تفاوتهای رده های سنی از نظر ویژگی های فیزیولوژیکی و نتایج مسابقات جهانی در والیبال ، به بررسی تفاوت های موجود بین بازیکنان نوجوان ، جوان و بزرگسال از نظر ویژگی های بدنی ، ارتفاع ، پرش عمودی ، مدت زمان و نتایج مسابقات والیبال پرداخته تا از این طریق گامی در جهت توسعه معیارهای ارزیابی بازیکنان والیبال برداشته شود .
سلطانی (۱۳۸۲ ) همچنین در مقاله ای با عنوان حسابگری و بازاریابی ورزش بیان می دارد که بازیکنان فوتبال مهم ترین دارایی باشگاه ها هستند و اهمیت انتخاب آن ها از تمام دارایی های باشگاه بیشتر است زیرا که موجودیت یک باشگاه ورزشی را بازیکنان تضمین می نمایند.
نیک سرشت (۱۳۸۸) در مقاله خود به بررسی اثرات تمرین های استقامتی ، پلایومتریک و موازی بر ویژگی های بیوانرژیک و مهارتی بازیکنان فوتبال مرد ، پرداخته است .
امینی فسخودی(۱۳۸۶) ارزیابی واحد های تصمیم گیری با بهره گرفتن از مدل تصمیم گیری گروهی AHP را مورد مطالعه قرار داده است . داده های مورد استفاده وی به صورت فازی در آمده بود که با بهره گرفتن از مدل برنامه ریزی پویا معیارهایی چون ابتکار ، روان بودن و خلاقیت را از مؤلفه های مهم در تصمیم گیری معرفی می کند .
۲-۵-۲-پیشینه خارجی :
کمیل و همکاران (۲۰۱۱) در مقاله خود به انتخاب بازیکنان کریکت با بهره گرفتن از تحلیل سلسله مراتبی پرداخته است . وی رویه انتخاب بازیکنان کریکت را ارائه داده و در آن ۶ بازیکن را در سطوح گوناگون و با بهره گرفتن از تحلیل سلسله مراتبی رتبه بندی نموده است . روش او با یک مثال ارائه شده و مدل در جایی تست نشده است . وی توضیح داده است که تحقیق او برای انجمن کنترل کریکت هند ( BCCI) مفید است .این مرجع بازیکنان تیم ملی را انتخاب می کند و از کارشناسانی که از نقاط مختلف هند هستند تشکیل شده است .
وی ۶ بازیکن را بر اساس ۴ شاخص که ۴ وظیفه مهم در بازی کریکت می باشند رتبه بندی کرده است .
این وظیفه ها عبارتند از : توپ زن ، توپ انداز ، دور زن و توپ گیر .