(۳-۶۷)

(۳-۶۸)
(۳-۶۹)

(۳-۷۰)

(۳-۷۱)

(۳-۷۲)
که هرکدام از  ها، مقداراندازه گیری شده تنش تسلیم است هنگامی که تنها  تنش غیرصفر باشد و  نیز تنش تسلیم مرجع تعریف شده برای مشخص شدن پلاستیسیته ماده می باشد.  ،  ،  ،  ،  و  نیزنسبت های تنش تسلیم غیرایزوتروپیک می باشند و  است. بنابراین شش نسبت تنش تسلیم به صورت زیر تعریف شده اند:

و  و  و  و  و  (۳-۷۳)
بدلیل فرم تابع تسلیم، همه این نسبت ها می بایست مثبت باشند. اگرثابت های F، Gو H مثبت باشند، تابع تسلیم خوب تعریف شده است واگریکی یاتعداد بیشتری ازاین ثابت ها منفی باشند، تابع تسلیم برای حالت هایی ازتنش خوب تعریف نشده است واین بخاطر آن است که مقدارزیر رادیکال به ازای آن مقادیرمنفی می شود.
۳-۵- قانون جریان^[۹۳] [۱۰۸]:
همانطور که می دانیم رابطه بین تنش وکرنش درحالت الاستیک با استفاده ازقانون خطی هوک داده می شود. اما درتغییرشکل پلاستیک بدلیل غیرخطی بودن ماهیت این تغییرشکل ووجود کرنش های با مقادیر بالا، ناچارا ازروابط غیرخطی برای بیان این رابطه تنش- کرنش استفاده می شود وبه همین دلیل، اغلب این معادلات برپایه نرخ تغییرات نوشته شده اند. یکی ازمعادلاتی که دراین بین بسیار پرکاربرد است، این چنین است:
(۳-۷۴)
دراین رابطه،  کرنش پلاستیک،  تابع پتانسیل،  تنش و  یک ثابت است. البته اگرفرض شود که این تابع پتانسیل همان تابع تسلیم است، رابطه(۳-۷۴) درنهایت به صورت زیرنوشته خواهد شد:
(۳-۷۵)
که  همان تابع تسلیم است.
برای تابع تعریف شده هیل خواهیم داشت:
(۳-۷۶)
وبا توجه به تعریف تابع پتانسیل هیل(۳-۶۶)، معادله(۳-۷۵) به صورت زیر درمی آید:
(۳-۷۷)
که با تعریف f ازمعادله (۳-۶۶)، b چنین بدست می آید:
(۳-۷۸)
همچنین:

(۳-۷۹)
که:

(۳-۸۰)
۳-۶- تعریف رفتارتسلیم غیرایزوتروپیک براساس نسبت های کرنش لنکفورد^[۹۴] [۱۰۸]:
همانطور که دربالا بحث شد، تابع پتانسیل غیرایزوتروپیک هیل براساس نسبت های تنش تسلیم درجهات مختلف نسبت به یک تنش تسلیم مرجع تعریف می شود. اگرچه دربعضی موارد، مثلا درشکل دهی ورق ها، این گونه رایج است که داده های غیرایزوتروپیک ماده بوسیله نسبت های داده شده کرنش عرضی به کرنش درضخامت، پیدا می شوند. بنابراین نیاز به یک سری روابط ریاضی است تا نسبت های کرنش رابه نسبت های تنش تبدیل کند. درکاربردهایی نظیر شکل دهی ورق ها، به طورکلی روی شرایط تنش صفحه ای متمرکز می شویم. فرض کنید x وy به ترتیب جهت نورد وجهت عمود برآن درصفحه ورق باشند. ازیک نگاه، غیرایزوتروپی معمولا به گونه ای است که ورق درصفحه خود ایزوتروپیک بوده و دارای یک مقاومت افزاینده درجهت ضخامت است که به غیرایزوتروپی عرضی^[۹۵] تعبیر می شود. نوع دیگر غیرایزوتروپی بوسیله تفاوت درمقاومت ماده درجهات مختلف درون صفحه ورق مشخص می شود که غیرایزوتروپی صفحه ای^[۹۶] خوانده می شود. در یک تست کشش ساده اعمال شده درجهت x درصفحه ورق، قانون جریان، نسبت های کرنش افزاینده^[۹۷] ( برای کرنش های الاستیک کوچک) را این چنین تعریف می کند:
(۳-۸۱)
بنابراین نسبت کرنش عرضی x به کرنش درضخامت، که معمولا به نسبت های لنکفورد تعبیر می شوند، این چنین خواهد بود:
(۳-۸۲)
همانند بالا، برای یک تست کشش ساده اعمال شده درجهت y درصفحه ورق، نسبت کرنش افزاینده این چنین خواهد بود:
(۳-۸۳)
بنابراین نسبت لنکفورد درجهت y نیز اینچنین است:
(۳-۸۴)
۳-۶-۱- غیرایزوتروپی عرضی[۱۰۸]:
یک ماده با شرایط غیرایزوتروپی عرضی زمانی اتفاق می افتد که  شود. اگر  را درمدل پلاستیک ماده معادل با  تعریف کنیم:
(۳-۸۵)
وبا استفاده ازروابط بالا خواهیم داشت:
(۳-۸۶)
اگر  باشد(برای ماده ایزوتروپیک)، آنگاه  خواهد بود ومعیارهیل معادل با معیارپلاستیک ایزوتروپیک وان- مایسز خواهد شد.
۳-۶-۲- غیرایزوتروپی صفحه ای[۱۰۸]: