یک مجموعه فازی، یک مجموعه با مرزهای نامشخص است که اعضای آن می توانند به صورت جزئی و بر اساس درجه عضویت در آن عضویت داشته باشند. در واقع تئوری مجموعه های فازی با کلاس هایی از اشیا با مرزهای غیر برجسته در ارتباط است که عضویت اشیای هر یک از کلاس ها با مفهومی تحت عنوان درجه عضویت توصیف می شود. این اصل کاملا با ویژگی مجموعه های کلاسیک که در آن یک مجموعه دارای مرزهای مشخصی است، متفاوت می باشد. در این رهیافت، نظریه کلاسیک عضویت دو رقمی در یک مجموعه به گونه ای اصلاح می شود که عضویت های بین صفر و یک را نیز در بر بگیرد. در مجموعه های کلاسیک، یک شیء یا متعلق به مجموعه A و یا متعلق به مجموعه not-A می باشد. در حالی که در منظق فازی، هر حکمی دارای درجه ای از درستی است. از نظر عملی، معمولاً از دانستنی های تجربی برای تعیین های هر ورودی، ورودی های مربوطه، تعداد قوانین، نوع مدل فازی و … و از داده های عددی جهت شناسایی پارامترها و تعیین مقادیر پارامترهایی که بهترین عملکرد را تولید می کنند، استفاده می شود.

۲-۱۸-۲) توابع عضویت
تابع عضویت منحنی است که نحوه نگاشت هر نقطه از فضای ورودی را به یک مقدار عضویت (درجه عضویت) بین “۰” و “۱ ” تعریف می کند. به طور مثال اگر می توان گفت درجه بلند قدی فردی ۰٫۳ و فرد دیگر ۰٫۹ می باشد (کیا، ۱۳۹۰).
انواع مختلف توابع عضویت (MF) مانند مثلثی، ذوزنقه، گاما و مستطیل شکل را می توان برای تجزیه و تحلیل مورد استفاده قرار داد. با این حال، تابع عضویت مثلثی (TFN) به طور گسترده ای برای محاسبه، تعیین قابلیت اطمینان داده ها و کمی کردن عدم قطعیت در تصمیم گیری مورد استفاده قرار می گیرد. دلیل این امر در سادگی، قابلیت فهم آسان و کارآمدی محاسباتی آن می باشد (Bajpai, 2010; Lee, 2008).

اعداد فازی و متغیر های زبانی
استفاده از تئوری مجموعه های فازی امکان نمایش جنبه کیفی متغیرها را با بهره گرفتن از متغیرهای زبانی فراهم می آورد. یک متغیر زبانی متغیری است که مقادیر آن اعداد نیست، بلکه مقدار آن به وسیله لغات یا جملات زبان طبیعی در قالب لغاتی نظیر ” به احتمال بسیار زیاد"، “احتمالا"، “واضح نیست” و امثالهم که همگی حاوی درجاتی از عدم قطعیت می باشند؛ تعریف می شود. در نتیجه، اعداد فازی بهتر از اعداد قطعی می توانند ارزش های زبانی را در جنبه های کیفی بیان نمایند. بر این اساس، ارزشی که در توسعه متغیر فازی زبانی ایجاد می گردد، به عنوان مقادیر فازی در نظر گرفته می شوند. سپس این مقادیر به معیاری جهت اندازه گیری ویژگی های اشیاء تبدیل می شوند (Lee, 2008; Ou, 2009; Wang et al., 2010).
یک متغیر زبانی با مشخصه های X)، T، U ، (M بیان می شود که در آن:
X : برابر با متغیر زبانی است.
T: مجموعه ای از ارزش های زبانی است که X می تواند اخذ کند (اعداد فازی در مجموعه مرجع U تعریف شده اند)، به عنوان مثال اعضای مجموعه T شامل مقادیر کم، متوسط، بالا و نسبتا بالا است (:T }کم، متوسط​​، بالا ، نسبتا بالا{)
: U دامنه ای است که در آن متغیر زبانی X ارزش های کمی دارد، به عنوان مثال از متوسط تا زیاد
:M قاعده ای که هر مقدار زبانی موجود در مجموعه T را با یک مجموعه فازی در U مرتبط می سازد، به عنوان مثال، متغیرX ممکن است با ارزش عضویت ۰٫۳ دارای مقدار متوسط بوده و با ارزش عضویت ۰٫۷ در مجموعه فازی Uدارای مقدار بالا باشد.
مفهوم متغیر زبانی یک قالب مناسب جهت بیان ریاضی مفاهیم پیچیده و مبهم ذهنی به خصوص در مواردی که نیاز به طبقه بندی حالتهای مختلف از یک مفهوم داشته باشیم، در اختیار قرار دهد (آذر و همکاران، ۱۳۸۹؛ میر حسین و همکاران، ۱۳۸۸).

مجموعه های فازی
بر خلاف مجموعه های کلاسیک که شامل اشیاء با ویژگی های دقیق و مقادیر مشخص توابع عضویت بودند، مجموعه های فازی شامل درجات مختلف عضویت در بازه پیوسته [۰-۱] می باشند، که در آن ‘۰’ با عدم عضویت و ‘۱’ با عضویت کامل مطابقت دارد. تابع عضویت یک مجموعه فازی ~ A به صورت زیر تعریف می شود :
که در آن A (X) درجه عضویت x در مجموعه فازی ~ A است.
عدد فازی مثلثی، یک مجموعه فازی پیوسته است که تابع عضویت آن به صورت زیر می باشد:

شکل ۲-۱) تابع عضویت مثلثی
اعداد فازی مثلثی به صورت سه تایی (a , b , c) نشان داده می شوند .هر عدد قطعی مانند m را نیز می توان به صورت عدد فازی (m,m,m) نشان داد (دانشور و لایزالی، ۱۳۸۸؛ Cho, 2011). از میان اعداد مختلف فازی، اعداد فازی مثلثی و ذوزنقه ای به دلیل سادگی در استفاده از پر کاربردترین و پر اهمیت ترین توابع مورد استفاده در منطق فازی محسوب می گردند (اسماعیل پور، ۱۳۸۸).

استنتاج فازی
استنتاج فازی فرایندی است که طی آن نگاشت از ورودی ها به خروجی ها با بهره گرفتن از منطق فازی فرموله می گردد. با توجه به نگاشت انجام شده یک تصمیم اتخاذ شده و یا یک الگو تشخیصص داده می شود. سیستم های اسنتاج فازی دارای کاربردهای موفقی در زمینه های کنترل خودکار، طبقه بندی داده ها، تحلیل تصمیم ها و سیستم های خبره می باشند. برای شروع کار با یک سیستم استنتاج فازی مهمترین قسمت، تعیین تعداد قوانین اگر - آنگاه فازی بهینه جهت ایجاد رابطه ای منطقی بین ورودی و خروجی، تعداد و نوع تابع عضویت، پارامترهای آن ها و روش فازی زدایی است. گام های اصلی برای ارزیابی پیاده سازی این سیستم به شرح زیر است:
در فرایند استنتاج فازی، ۵ مرحله باید انجام گیرد:
۲-۲۱-۱) فازی سازی متغیرهای ورودی: ساخت ساختار سلسله مراتبی عناصر تصمیم گیری از قبیل ضوابط و معیا
رهای فرعی
گام اول در سیستم های استنتاج فازی، دریافت ورودی ها و تعیین درجه عضویت آن ها به هر یک از مجموعه های فازی از طریق توابع عضویت می باشد. ساختار سلسله مراتبی با بهره گرفتن از در نظر گرفتن هدف کلی به عنوان ریشه درخت تصمیم گیری و ساخت هر یک از معیار های اصلی در زیر مجموعه آن شکل می گیرد. بدین منظور یک لیست از معیارها طراحی می گردد و سپس به هر یک وزن مناسبی که منعکس کننده اهمیت نسبی آن ها است با مقداری میان۰ و ۱ که جمع کلیه اوزان برابر با ۱ است، تخصیص داده می شود. خروجی این مرحله یک درجه فازی است که میزان عضویت ورودی را در محموعه فازی تعیین می کند (این خروجی همواره یک عدد مابین ۰ و ۱ است).
۲-۲۱-۲) به کار بردن عملگرهای (و ؛ یا (:امتیاز دهی و اولویت بندی فاکتورها و معیارهایی که مرتبط با یک شاخص هستند و محاسبه وزن هر معیار با بهره گرفتن از روش مقایسه ای
پس از فازی سازی ورودی ها؛ درجه درستی هر یک از اجزای قسمت فرض تعیین شده است. در صورتی که قسمت فرض دارای چندین بخش باشداز عملگرهای فازی برای ترکیب درجه درستی بخش ها و تولید یک عدد به عنوان درجه درستی قسمت فرض استفاده می شود. عدد حاصل از این فرایند به تابع خروجی اعمال می شود. در این راستا، می توان از عملگرهای منطقی “و” و “یا” برای تبیین عملگرها استفاده نمود.
۲-۲۱-۳) استنتاج از مقدمه به نتیجه: تعریف مجموعه فازی و توابع عضویت برای ویژگی های کمی
ابتدا باید وزن هر قاعده را مشخص نمود. هر قاعده تعریف شده دارای وزنی مابین ۰ و ۱ می باشد. این مقدار بر روی مقدار به دست آمده از قسمت فرض اعمال می گردد. پس از تخصیص مقادیر مناسب به وزن های هر یک از قواعد روش دلالت پیاده سازی می شود. قسمت نتیجه یک مجموعه فازی تعیین شده توسط تابع عضویت می باشد. این قسمت با بهره گرفتن از یک تابع توسط عدد حاصل از قسمت فرض، تغییر شکل داده می شود. ورودی فرایند دلالت؛ یک عدد و خروجی آن یک مجموعه فازی می باشد. فرایند دلالت به ازای هر قاعده پیاده سازی می شود.
توابع عضویت با ارزش های صفات کمی مرتبط با هر فرایند در محدوده بین ۰ و ۱ منطبق می گردند. امتیاز هر فاکتور از ضرب نمره آن در وزن مربوطه خود محاسبه می شود.
۲-۲۱-۴) ترکیب نتایج قوانین: ساخت ماتریس مقایسه فازی
از آن جا که در سیستم استنتاج فازی تصمیمات بر اساس ارزیابی همه قواعد اتخاذ می شود، لذا قواعد بایستی با هم ترکیب شوند. ترکیب (تجمیع) فرایندی است که طی آن مجموعه های فازی ارائه دهنده خروجی هر یک از قواعد با هم در قالب یک مجموعه فازی ترکیب می شوند. در واقع در این مرحله ماتریس قضاوت فازی پس از ضرب عدد فازی هر یک از معیارها و وزن معیار مربوطه و جمع کلی معیارها، به دست می آید. بر این اساس، رتبه فازی هر یک از معیار ها محاسبه می شود و پس از آن ماتریس رتبه بندی یا قضاوت فازی با بهره گرفتن از توابع عضویت فازی تعریف شده در مرحله ۳ ایجاد می گردد. محاسبه نمره کل با جمع نمرات حاصل از وزن هر فاکتور در عدد فازی مربوطه محاسبه می شود. عملیات ترکیب تنها یکبار به ازای هر متغیر خروجی انجام می پذیرد. لیست توابع خروجی برش یافته طی فرایند دلالت ورودی، فرایند ترکیب را تشکیل می دهند. خروجی این مرحله، یک مجموعه فازی یه ازای هر متغیر خروجی می باشد.
۲-۲۱-۵) فازی زدایی: محاسبه امتیاز نهایی
ورودی این مرحله، یک مجموعه فازی (حاصل مرحله ترکیب نتایج قوانین) و خروجی آن یک عدد می باشد. منطق فازی در طی مراحل میانی به ارزیابی قواعد کمک می کند اما خروجی مطلوب به ازای هر متغیر عموما یک عدد است. چراکه حاصل ترکیب مجموعه های فازی، محدوده ای از مقادیر خروجی می باشد و نیاز است تا با بهره گرفتن از غیر فازی کردن به روش هایی نظیر مرکز جرم، یک مقدار خروجی مشخص ایجاد گردد (کیا، ۱۳۸۹). بنابراین در این مرحله ارزش فازی شده متغیر خروجی محاسبه می شود، و پس از آن، رتبه متغیر فوق به دست خواهد آمد. بر این اساس یک توصیه بر اساس حداکثر نمره کل به دست می آید (Chen et al., 2010; Cho, 2011; Chou and Chang(b), 2008; Kilincci, 2011; Ou, 2009).

سیستم استنتاج فازی^[۵۶]۱
هر سیستم استنتاج نیاز به مجموعه ای از توابع عضویت فازی به عنوان ورودی یا خروجی و مجموعه ای از قوانین فازی برای موتور قاعده خود دارد. ورودی و خروجی، دو عنصر اساسی در سیستم استنباط فازی هستند. ورودی شامل برخی مفاهیم لفظی مبهم و نا دقیق برای یک رویداد خاص بوده و خروجی یک مجموعه ای فازی یا مجموعه ای دقیق از ویژگی های خاص می باشد. در این رابطه، یک سیستم استنتاج فازی از قواعد فازی اگر- آنگاه استفاده می نماید و می تواند جنبه های کیفی دانش بشری و فرایند استدلال انسان را بدون استفاده از تجزیه و تحلیل دقیق کمی مدل نماید. این سیستم با بهره گرفتن از تئوری مجموعه فازی می تواند روابط ورودی - خروجی یا دانش صریح انسان را در قالب قوانین اگر – آنگاه بیان نماید (Efendigil, 2009).
با توجه به آن چه تا کنون بیان شد، باید اشاره شود که هر سیستم فازی از سه جزء زیر تشکیل یافته است:
مجموعه های ورودی و خروجی فازی
پایگاه قواعد فازی
موتور استنتاج فازی
بر این اساس، مجموعه های ورودی و خروجی فازی، همان متغیر های ورودی و خروجی پژوهش هستند که محقق به دنبال یافتن رابطه میان آن ها است. پس از متغیرهای ورودی و خروجی، پایگاه قواعد فازی دومین جز از سیستم فازی به شمار می رود. بدست آوردن مجموعه ای با قواعد منطقی فازی، با بهره گرفتن از دانش افراد خبره یا دانش
حوزه مورد بررسی و ترکیب آنها در یک چهارچوب مشخص برای نتیجه گیری از مجموعه قواعد، امکان پذیر می گردد. مجموعه این قواعد که به صورت “اگر- آنگاه” بیان می شوند، را پایگاه قواعد فازی گویند. در نهایت جز سوم سیستم استنتاج فازی، موتور استنتاج فازی است که در آن استنتاج مجموعه قواعد فازی براساس معیارها و ویژگیهای خاص صورت می گیرد. موتور استنتاج فازی، قواعد موجود در پایگاه قواعد فازی را بوسیله نگاشتی از یک مجموعه فازی مشخص به مجموعه فازی مشخص دیگری ترکیب می کند. از آنجایی که در اغلب کاربردها، ورودی و خروجی سیستم فازی اعداد حقیقی هستند، لازم است واسطه هایی بین موتور استنتاج فازی و محیط ایجاد شود. این واسطه ها عبارتند از فازی سازها (Fuzzifier) و غیرفازی سازها(Defuzzifier) . این واسطه ها نیز جزیی ازسیستم فازی محسوب می شوند (صادقی و همکاران، ۱۳۸۹؛ مشیری و همکاران، ۱۳۸۵).
در حقیقت سیستم استنتاج فازی، به محقق کمک می کند تا فرایند فرموله کردن نگاشت ورودی داده شده به یک خروجی با بهره گرفتن از منطق فازی را صورت دهد. دو نوع روش پر کاربرد در سیستم استنتاج فازی وجود دارد: