(1-68)
بدین ترتیب ثابت های لایه  ام بدست آمده و براي به دست آوردن ساير ثابت‌ها ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏از جمله ثابت‏ها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ی لايه اول از رابطه بازگشتي زير استفاده مي‌كنيم:
(1-69)
براي اثبات از رابطه (1-53) شروع می‏کنيم:
(1-54-تکراری)
به کمک اين رابطه می‏توان نوشت:
(1-70)
که در آن از شرايط پيوستگي  و رابطه (1-52) استفاده شده است. با قرار دادن اين رابطه در (1-70) داريم:
(1-71)
با قرار دادن  و  در (1-70) می‏توان نوشت :
(1-72)
با تلفيق دو رابطه اخير داريم:
(1-73)
با تکرار اين روند به راحتی ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏توان به رابطه (1-69) رسيد. اگر ماتريس  که یک ماتریس6 در 6 می باشد را مطابق زير تعريف كنيم:
(1-74)
آنگاه رابطه (1-71) به صورت زير در مي‏آيد:
(1-75)
حال برای ساده تر شدن معادلات، مجهولات  ،  ،  ،  ،  ،  را به صورت زیر تجزیه می کنیم:

(1-76)
که در روابط بالا اندیس  مربوط به شماره لایه، اندیس  مربوط به ضرایب  ، اندیس  مربوط به ضرایب  و اندیس  مربوط به ضرایب  می‏ باشد که  ،  و  در رابطه (1-44) مشخص شده اند. با بهره گرفتن از مقادیر بدست آمده از معادله (1-76) و با بهره گرفتن از معادله (1-75)، ثابت‏های‏ لایه اول بدست ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏آیند:

(1-77)
که در آن:

(1-78)
با مشخص شدن ثابت های تمامی لایه ها، توابع پتانسیل  و  و کلیه توابع تنش و جابجایی در فضای هنکل- فوریه با بهره گرفتن از معادلات (1-41) و (1-42) بدست می آیند. اگر از روابط بدست آمده تبدیل معکوس هنکل بگیریم، ضرایب  ام سری فوریه مؤلفه های تغییر مکان لایه  ام به شرح زیر است:

(1-79)
با جایگذاری ضرایب  ام سری فوریه تغییر مکان در بسط فوریه مربوطه، دامنه های مؤلفه های تغییر مکان به شرح زیر بدست می آیند:
(1-80)
به منظور کنترل روابط بدست آمده در این بخش، در فصل بعدی نتایج برای حالت خاص نیم فضای همگن  بدست می آیند.
فصل دوم
توابع گرین در حالت کلی
2-1- مقدمه
در این فصل ابتدا با بهره گرفتن از معادلات به دست آمده در فصل گذشته و ساده سازی روابط، مؤلفه های تغییر مکان لایه  ام را می‏ نویسیم. سپس برای کنترل نتایج بدست آمده، مساله را برای حالت  ساده می کنیم. در بخش آخر از این فصل با انتقال دستگاه مختصات‏ به یک نقطه دلخواه، تغییر مکان ها و تنش ها در هر نقطه از لایه‏ها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ به دست ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏آیند و این توابع به عنوان توابع گرین مورد استفاده قرار ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏گیرند. با ترکیب روابط (1-44) و (1-76) و (1-64)، مؤلفه های بردار تغییر مکان لایه  ام به صورت زیر بیان می‏ شوند:

(2-1)
که در معادلات (2-1) داریم: