می­دانیم که یک دوره­نگار عادی هموارشده می ­تواند یک برآوردگر سازگار برای طیف توان باشد (Brockwell and Davis (1991) صفحه۳۵۰-۳۵۳). عدم امکان ارائه بیان تحلیلی برای میانگین و واریانس دوره­نگارهای چندکی، به عنوان برآورد طیف چندک، بررسی وجود رفتاری مشابه با دوره­نگارهای عادی را دشوار می­ کند. با این حال، مطالعات شبیه سازی شده تایید می­ کند که افزایش مقدار با کاهش میانگین مربعات خطا همراه است. به عنوان مثال، شکل ۳-۶ میانگین مربعات خطا برای دوره­نگار چندکی هموار شده را به عنوان تابعی از نشان می­دهد که در آن مقدار از ۲۰۰ تا ۱۰۰۰ تغییر می­ کند. برای مقایسه بهتر، میانگین مربعات خطا برای دوره­نگار عادی هموار شده نیز رسم شده است. در هر دو حالت، پارامتر هموارسازی df، برای هر اندازه نمونه، به گونه ­ای انتخاب شده است که میانگین مربعات خطا را حداقل کند. شکل ۳-۶، نشان می­دهد که میانگین مربعات خطا برای دوره­نگارهای چندکی هموار شده، همانند دوره­نگارهای عادی، با افزایش ، روندی کاهشی خواهد داشت.

شکل ۳-۶: میانگین مربعات خطا از دوره­نگارهای هموار برای فرایند AR(2). توجه کنید که: -، دوره­نگارچندکی که به وسیله رابطه (۳-۳) و (۳-۴) با () تعریف شده است؛ —، دوره­نگارلاپلاسی؛ ……، دوره­نگارعادی است. نتایج براساس ۵۰۰۰ بار اجرای مونت کارلو بدست آمده است.
علاوه بر آن، قضیه ۳-۱ بیان می­ کند که یک فاصله اطمینان تقریبی برای طیف چندکی را می­توان با بهره گرفتن از روش تقریب ساخت (Brockwell and Davis (1991) صفحه۳۶۲). به بیان دقیق­تر، دوره­نگار چندکی هموار­شده نوع یک به صورت را در نظر بگیرید، که در آن
وزن­هایی مناسب با مجموع یک و ها فرکانس­های فوریه هستند. ایده اصلی این است که توزیع را با توزیع کای اسکور تقریب زد که در آن و به گونه ­ای انتخاب می­شوند که میانگین و واریانس برابر با و باشد. با توجه به این روابط خواهیم داشت:
از این رو، یک فاصله اطمینان ۹۵% برای به صورت است.
برای کمک به درک بهتر توانایی دوره­نگارهای چندکی در شناسایی دوره­ های پنهان در چندک­ها، فرض می­کنیم که چندک -ام دارای فرم زیر باشد:

۳-۱۶

که در آن و است. همانطور که قبلا ذکر شد، اگر به وسیله رابطه (۳-۲) تعریف شود که در آن، برای تمام مقادیر ، دارای چندک -ام ثابت باشد، آنگاه را می­توان به صورت رابطه (۳-۱۶) بیان کرد. طبق فرض(۳-۱۶) نتیجه زیر را می­توان بدست آورد.
قضیه ۳-۲
فرض کنید شرایط (i)-(iv) را دارا باشد که در آنها با داده شده در رابطه (۳-۱۶) جایگزین شده است. همچنین، فرض کنید باشد. آنگاه زمانی که به سمت بی­نهایت میل کند به طور مجانبی دارای توزیع و نیز به طور مجانبی دارای توزیع خواهد بود، که در آن . اگر به وسیله رابطه (۳-۳) و (۳-۵) تعریف شده باشد مقدار با بهره گرفتن از رابطه
و در صورتی که به وسیله رابطه
(۳-۶) و (۳-۷) تعریف شده باشد مقدار با بهره گرفتن از رابطه
محاسبه می­ شود. در این حالت از رابطه (۳-۱) و از رابطه بدست می­آیند.
با مقایسه قضیه ۳-۲ با قضیه ۳-۱ می­توان مشاهده کرد که دوره­ای بودن در دوره­نگار چندکی نوع یک در پارامتر نامرکزی توزیع کای­اسکور و در دوره­نگار چندکی نوع دو در عبارت دیده می­ شود. هر دو مقدار و میزان تاثیرگذاری دوره­ای بودن را اندازه ­گیری می­ کنند: بر روی دامنه نوسان دوره تناوب و بر روی تاثیر دوره در تابع هزینه متمرکز است. این ابزار آشکارسازی دوره بیان می­ کنند که چرا یک قله بزرگ در دوره­نگارهای چندکی در فرکانس رخ می­دهد.
مثال ۳-۵
فرایند تعریف شده در رابطه (۳-۲) را در نظر بگیرید. شکل۳-۷ تاثیر دوره­ای بودن فرایند را در دوره­نگار چندکی نشان می­دهد. برای این منظور، میانگین مجموع^[۵۲] دوره­نگارهای چندکی برای سری زمانی تولید شده بر اساس رابطه (۳-۲) با (، ، ، ، و ) رسم شده و میانگین مربوط به دوره­نگارهای عادی و لاپلاسی نیز نشان داده شده است. همانطور که مشاهده می­کنید، میانگین دوره­نگارهای چندکی قله­ای بزرگ را در نشان می­ دهند که با نتایج مجانبی بیان شده قضیه ۳-۲ سازگار است. در مقابل، میانگین مجموع دوره­نگارهای عادی و لاپلاسی قله را مشخص نمی­کنند که این امر با توجه به صفر بودن میانه و میانگین فرایند تولید شده توسط رابطه (۳-۲)، برای تمام مقادیر ، قابل توجیه است.
(الف)
(ب)
شکل ۳-۷: دوره­نگار هموار شده سری­های فرم (۳-۲). (الف) دوره­نگار هموار لاپلاسی. (ب) دوره­نگار هموار چندکی.
شکل­های موجود در مقاله اصلی به صورت زیر است.
شکل ۳-۷: میانگین گروهی از دوره­نگارهای چندکی برای سری­های زمانی از فرم رابطه (۲-۳). (a) میانگین دوره­نگار چندکی نوع یک که به وسیله رابطه (۳-۳) و (۳-۴) تعریف شده است. (b) میانگین دوره­نگار چندکی نوع یک که به وسیله رابطه (۳-۶) و (۳-۴) تعریف شده است. © میانگین دوره­نگار چندکی نوع دو که به وسیله رابطه (۳-۳) و (۳-۵) تعریف شده است. (d) میانگین دوره­نگار چندکی نوع دو که به وسیله رابطه (۳-۶) و (۳-۷) تعریف شده است. توجه کنید که: -، میانگین دوره­نگارچندکی با ()؛ —، میانگین دوره­نگارلاپلاسی؛ ……، میانگین دوره­نگارعادی است. نتایج بر اساس ۵۰۰۰ بار اجرای مونت کارلو با است.
توجه داشته باشید که قضیه ۳-۲ تنها توزیع در سیگنال فرکانس را مشخص می­ کند و توزیع در سایر فرکانس­ها را می­توان به طور مشابه با بهره گرفتن از لم رگرسیون چندکی بدست آورد. در انتها به این نکته اشاره می­کنیم که، همانطور که در دوره­نگار لاپلاسی مشاهده شد، ممکن است قله­های کوچکی در برخی فرکانس­ها (یعنی مضرب­های صحیحی از ) رخ دهد. این حالت به ویژه هنگامی که عامل تناوب قوی است رخ می­دهد و در این صورت توزیع در این فرکانس­ها ممکن است با توزیع پیشنهاد شده در قضیه ۳-۱ یکسان نباشد.
در دوره­نگار عادی، آزمون کلموگروف اسمیرنوف^[۵۳] و آزمون فیشر^[۵۴] روشی استاندارد برای تشخیص دوره تناوب در میانگین یک فرایند تصادفی هستند، . این روش­ها را می­توان به راحتی در دوره­نگارهای چندکی برای تشخیص دوره تناوب در چندک­ها بکار برد. به عنوان مثال، آماره