۲-۴۶
همان طور که ذکر شد ماتریس Φ یک ماتریس از این توابع شکل می­باشد. در حالت سه بعدی دارای ابعاد Q3×۳ و در حالت دو بعدی دارای ابعادQ2×۲ است. در اینجا نیز Q بیانگر تعداد گره­های موجود در هر المان می­باشد. شکل کلی این ماتریس را می­توان به صورت زیر نمایش داد.
۲-۴۷
حل­های اساسی برای ترکشن و جا به ­جایی را نیز می­توان به صورت زیر نوشت:

۲-۴۸
۲-۴۹
حال با توجه به این که تمامی مؤلفه­ های معادله (۲-۲۹) به صورت ماتریسی تعریف شده ­اند، شکل کلی این معادله با صرف نظر از نیرهای حجمی به صورت ماتریسی زیر نوشته می­ شود.
۲-۵۰
حال با تقسیم کردن مرز به NE المان، شکل معادله بالا به صورت زیر تغییر می­ کند.
۲-۵۱
معادله بالا ارتباط هر نقطه روی مرز را با سایر المان­های مرزی نشان می­دهد. اگر معادله بالا را به صورت زیر بنویسیم آنگاه ارتباط هر گره با سایر گره­های روی مرز مشخص می­ شود.
۲-۵۲
که در این رابطه i نشان دهنده گره مرزی است که به دنبال ارتباط آن با سایر گره­ها هستیم. N تعداد گره­ها و همچنین  و  به ترتیب نشان دهنده جا به ­جایی­ها و ترکشن­ها در گره شماره j می­باشند. ماتریس­های H وG نیز ماتریس­های تأثیر^[۳۳] نامیده می­شوند و درحالت دو بعدی به صورت ۲×۲ و در حالت سه بعدی به صورت ۳×۳ می­باشند و به صورت زیر تعریف می­شوند.
۲-۵۳
۲-۵۴
در روابط بالا جمع در تمام المان­هایی که در گره j مشترک هستند (که با t مشخص شده است) گسترش پیدا می­ کند. q نیز نشان دهنده مرتبه المان­های مورد استفاده می­باشد. در این پژوهش برای محاسبه انتگرال­های روابط (۲-۴۶) و (۲-۴۷) از روش تربیع گائوس^[۳۴] استفاده شده است.
ماتریس H را می­توان به شکل زیر نوشت:
۲-۵۵
با توجه به تعریفی که از ماتریس H در رابطه (۲-۴۸) ارائه گردیده، معادله (۲-۴۵) را می­توان به شکل ساده­تر زیر نوشته می­ شود.
۲-۵۶
معادله (۲-۴۹) معادله اساسی می­باشد که ارتباط هر گره با تمام گره­های موجود روی مرزها را مشخص می­ کند.
شکل شماره ۲-۶ : یک دامنه دارای دو حفره
به طور مثال، شکل شماره ۲-۶، یک دامنه با دو حفره را نشان می­دهد. در این شکل مرز خارجی با هشت المان و مرز حفره­ها با شش المان تقسیم بندی شده ­اند. در روش المان­های مرزی با توجه به این نکته که عمود بر مرز همواره باید به سمت خارج مرز باشد، گره­های روی مرز خارجی و داخلی در جهت­های مخالف یکدیگر شماره گذاری می­گردند. یعنی در شکل ۲-۶ با توجه به این نکته که شماره گذاری گره­های روی مرز خارجی پاد ساعتگرد انجام شده است، شماره گذاری کره­های روی مرز داخلی ساعتگرد انجام می­ شود. با توجه به این نکته که ماتریس­های H و G بیانگر ارتباط بین تمام گره­ها با تمام مرزها می­باشند و با توجه به وجود سه مرز در این شکل، ماتریس­های H و G دارای سه زیر ماتریس می­باشند. که هر کدام از این زیر ماتریس­ها بیان کننده ارتباط بین تمام گره­های مرز مورد بررسی با سایر مرزها می­باشند. به این ترتیب ماتریس­های H و G به شکل زیر تشکیل می­شوند.
۲-۵۷
۲-۵۸
در رابطه ۲-۴۹ بردارهای U وP بردارهای جا به ­جایی­ها و ترکشن­ها روی تمام گره­ها می­باشند که از روی شرایط مرزی مشخص می­شوند. با انتقال مؤلفه­ های مجهول مرزی به سمت چپ و مؤلفه­ های معلوم به سمت راست و تبدیل کردن فرم رابطه به دستگاه معادلات به صورت Ax=f و حل این دستگاه با بهره گرفتن از روش SVD^[35] ، مقدار جا به ­جایی­ها و ترکشن­ها روی تمام گره­های موجود در مرزها مشخص می­ شود. استفاده از روش SVD از آن جهت برای حل این دستگاه کارآمد می­باشد که در بسیاری از موارد دستگاه محاسبه شده دارای ماتریس ضرایب غیر مربعی بوده که با روش­های تحلیلی به سختی حل می­ شود.
۲-۳ مقایسه نتایج حاصل از حل مستقیم المان مرزی با نرم افزار آباکوس
در زیر یک نمونه مثال برای بررسی نتایج حاصل از برنامه کامپیوتری نوشته شده با بهره گرفتن از نرم افزار متلب برای مسئله دو حفره با بهره گرفتن از روش المان­های مرزی و مقایسه نتایج بدست آمده با نتایج حاصل از نرم افزار آباکوس بیان شده است.
مثال: در این نمونه یک مسئله دو حفره­ای تحت کشش ساده که تحت نیروی Mpa 200p= قرار دارد و دارای مدول الاستیسیته Gpa200E= و Gpa79300G= نسبت پواسون ۰.۲۹۲ν= می­باشد را با بهره گرفتن از روش المان­های مرزی حل کرده و جا به ­جایی­های بدست ­آمده روی مرز خارجی را با نتایج حاصل از حل مسئله با بهره گرفتن از نرم افزار آباکوس مقایسه می­کنیم.
شکل شماره ۲-۷: تحت کشش قرار دادن یک جسم جامد دارای دو حفره
مدل سازی با نرم افزار آباکوس و نتایج حاصل از آن: شکل شماره ۲-۸: مدل سازی مسئله در نرم افزار آباکوس
 x شکل شماره ۲-۹: شکل حاصل از تغییر مکان در راستای
y شکل شماره ۲-۱۰: شکل حاصل از تغییر مکان در راستای
در جدول زیر نتایج حاصل از جابهجایی­های روی مرز خارجی با بهره گرفتن از دو روش ذکر شده بیان شده است.
میانگین خطا برای گره­های اندازه گیری شده بین حل المان مرزی و حل آباکوس=۲.۷۳%
جدول شماره ۲-۱: مقایسه حل مستقیم المان مرزی با حل آباکوس